Estimates for the green function and existence of positive solutions for higher-order elliptic equations
<p>We establish a <mml:math alttext="$3G$"> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math>-theorem for the iterated Green function of <mml:math alttext="$(-Delta )^{pm}$">...
Saved in:
| Format: | Article |
|---|---|
| Language: | English |
| Published: |
Wiley
2006-01-01
|
| Series: | Abstract and Applied Analysis |
| Online Access: | http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/AAA/2006/89491 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Summary: | <p>We establish a <mml:math alttext="$3G$"> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math>-theorem for the iterated Green function of <mml:math alttext="$(-Delta )^{pm}$"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>∆</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math>, (<mml:math alttext="$pgeq 1$, $mgeq 1$"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math>), on the unit ball <mml:math alttext="$B$"> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:math> of <mml:math alttext="$mathbb{R}^{n}$"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> <mml:math alttext="$(ngeq 1)$"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with boundary conditions <mml:math alttext="$(partial/partial u) ^{j}(-Delta )^{km}u=0$"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>∂</mml:mo> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>∂</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>∆</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> on <mml:math alttext="$partial B$"> <mml:mo>∂</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:math>, for <mml:math alttext="$0leq kleq p-1$"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> and <mml:math alttext="$0leq jleq m-1$"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math>. We exploit this result to study a class of potentials <mml:math alttext="$mathcal{J}_{m,n}^{(p)}$"> <mml:msubsup> <mml:mi>𝒥</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math>. Next, we aim at proving the existence of positive continuous solutions for the following polyharmonic nonlinear problems <mml:math alttext="$(-Delta )^{pm}u=h(cdot,u)$"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>∆</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>‧</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math>, in <mml:math alttext="$D$"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> (in the sense of distributions), <mml:math alttext="$lim_{|x| ightarrow 1} ((-Delta)^{km}u(x)/(1-|x|)^{m-1})=0$"> <mml:msub> <mml:mtext>lim</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>∆</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math>, for <mml:math alttext=" $0leq kleq p-1$"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math>, where <mml:math alttext="$D=B$"> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:math> or <mml:math alttext="$Backslash {0}$"> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math alttext="$h$"> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:math> is a Borel measurable function on <mml:math alttext="$Dimes (0,infty )$"> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> satisfying some appropriate conditions related to <mml:math alttext="$mathcal{J}_{m,n}^{(p)}$"> <mml:msubsup> <mml:mi>𝒥</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math>.</p> |
|---|---|
| ISSN: | 1085-3375 |