Single blow-up solutions for a slightly subcritical biharmonic equation
<p>We consider a biharmonic equation under the Navier boundary condition and with a nearly critical exponent (<mml:math alttext="$P_varepsilon$"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> <...
Saved in:
| Format: | Article |
|---|---|
| Language: | English |
| Published: |
Wiley
2006-01-01
|
| Series: | Abstract and Applied Analysis |
| Online Access: | http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/AAA/2006/18387 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Summary: | <p>We consider a biharmonic equation under the Navier boundary condition and with a nearly critical exponent (<mml:math alttext="$P_varepsilon$"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math>): <mml:math alttext="$Delta^2u=u^{9-varepsilon}$"> <mml:msup> <mml:mi>∆</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>9</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math>, <mml:math alttext="$u>0$"> <mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> in <mml:math alttext="$Omega$"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> and <mml:math alttext="$u=Delta u=0$"> <mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>∆</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> on <mml:math alttext="$partialOmega$"> <mml:mo>∂</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math>, where <mml:math alttext="$Omega$"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> is a smooth bounded domain in <mml:math alttext="$mathbb{R}^5$"> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msup> </mml:math>, <mml:math alttext="$varepsilon>0$"> <mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn> </mml:math>. We study the asymptotic behavior of solutions of (<mml:math alttext="$P_varepsilon$"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math>) which are minimizing for the Sobolev quotient as <mml:math alttext="$varepsilon$"> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:math> goes to zero. We show that such solutions concentrate around a point <mml:math alttext="$x_0 in Omega$"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> as <mml:math alttext="$varepsilon ightarrow 0$"> <mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn> </mml:math>, moreover <mml:math alttext="$x_0$"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> is a critical point of the Robin's function. Conversely, we show that for any nondegenerate critical point <mml:math alttext="$x_0$"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> of the Robin's function, there exist solutions of (<mml:math alttext="$P_varepsilon$"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math>) concentrating around <mml:math alttext="$x_0$"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> as <mml:math alttext="$varepsilon ightarrow 0$"> <mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn> </mml:math>.</p> |
|---|---|
| ISSN: | 1085-3375 |