Common fixed points of one-parameter nonexpansive semigroups in strictly convex Banach spaces
<p>One of our main results is the following convergence theorem for one-parameter nonexpansive semigroups: let <mml:math alttext="$C$"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> be a bounded closed convex subset of a Hilbert space <mml:math alttext="$E$">...
Saved in:
| Format: | Article |
|---|---|
| Language: | English |
| Published: |
Wiley
2006-01-01
|
| Series: | Abstract and Applied Analysis |
| Online Access: | http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/AAA/2006/58684 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Summary: | <p>One of our main results is the following convergence theorem for one-parameter nonexpansive semigroups: let <mml:math alttext="$C$"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> be a bounded closed convex subset of a Hilbert space <mml:math alttext="$E$"> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:math>, and let <mml:math alttext="${T(t): t in mathbb{R}_+ }$"> <mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> be a strongly continuous semigroup of nonexpansive mappings on <mml:math alttext="$C$"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math>. Fix <mml:math alttext="$u in C$"> <mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> and <mml:math alttext="$t_1, t_2 in mathbb{R}_+$"> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo><mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> </mml:math> with <mml:math alttext="$t_1 lt t_2$"> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo><</mml:mo><mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math>. Define a sequence <mml:math alttext="${ x_n }$"> <mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> in <mml:math alttext="$C$"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> by <mml:math alttext="$x_{n} =(1-alpha_n)/(t_2-t_1)int_{t_1}^{t_2} T(s) x_n ds + alpha_n u$"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo><mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle displaystyle='true'> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow></mml:mrow> </mml:math> for <mml:math alttext="$n in mathbb{N}$"> <mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>ℕ</mml:mi> </mml:math>, where <mml:math alttext="${ alpha_n }$"> <mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> is a sequence in <mml:math alttext="$(0,1)$"> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> converging to <mml:math alttext="$0$"> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math>. Then <mml:math alttext="${ x_n }$"> <mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> converges strongly to a common fixed point of <mml:math alttext="${T(t): t in mathbb{R}_+ }$"> <mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow> </mml:math>.</p> |
|---|---|
| ISSN: | 1085-3375 |